ガウス・ジョルダン消去法計算機

行列の基本変形を用いて連立方程式を解きます。線形代数の学習に最適。

ガウス・ジョルダン消去法（掃き出し法）とは？

ガウス・ジョルダン消去法（Gauss-Jordan Elimination）は、連立一次方程式を解くためのアルゴリズムであり、行列の「行基本変形」を利用して拡大係数行列を「簡約な行階段形（Reduced Row Echelon Form: RREF）」に変形する手法です。日本では「掃き出し法」の名で広く知られています。

アルゴリズムの仕組み

計算は以下のステップで進行します。

  1. 前進消去 (Forward Elimination): 上から順にピボット（主成分）を選び、その列のピボットより下の要素をすべて0にします。これにより行列を上三角行列（あるいは行階段形）にします。
  2. 後退代入 (Back Substitution) の代わり: ガウスの消去法ではここで計算を止めますが、ジョルダン法ではさらに進めます。ピボットより上の要素もすべて0にし、対角成分を1にします。
  3. 結果: 最終的に左側の係数行列が単位行列になれば、右側の定数項の列がそのまま解になります。
$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & x \\ 0 & 1 & 0 & | & y \\ 0 & 0 & 1 & | & z \end{bmatrix} $$

応用分野

この手法は単に連立方程式を解くだけでなく、以下のような広範な線形代数の問題に応用されます。

  • 逆行列の計算: 右辺に単位行列を置いて同時に操作することで、元の行列の逆行列を求められます。
  • ランク（階数）の決定: 行列の独立な行の数を知ることができます。
  • ベクトル空間の基底の算出: 線形独立なベクトルを見つけるのに役立ちます。

計算量と安定性

ガウス・ジョルダン法は、変数の数を $n$ とすると、およそ $O(n^3)$ の計算量を必要とします。数百、数千の変数を持つ大規模な系では、より効率的な反復法（ヤコビ法やガウス・ザイデル法など）や行列分解（LU分解など）が用いられることが多いですが、手計算や小規模な系での理解には最適かつ基本的な手法です。