二次方程式の解の公式計算機
ax² + bx + c = 0 の解を瞬時に計算します
x =
-b ± √(b² -
4ac)
2a
解 (Solutions)
計算プロセス (Step-by-Step)
二次方程式の解の公式とは？
二次方程式（Quadratic Equation）とは、未知数 x の最高次数が2である代数方程式のことです。一般形は ax² + bx + c = 0 （ただし a ≠ 0）と表されます。
この方程式の解を求めるための万能な方法が「解の公式（Quadratic Formula）」です。因数分解が難しい場合や、解が整数にならない場合、さらには実数解を持たない（虚数解になる）場合でも、この公式を使えば必ず解を求めることができます。
解の公式の導出（平方完成）
解の公式は、一般形の二次方程式を「平方完成（Completing the Square）」することによって導かれます。
- 方程式 ax² + bx + c = 0 の両辺を a で割ります： x² + (b/a)x + c/a = 0
- 定数項 c/a を右辺に移項します： x² + (b/a)x = -c/a
- 左辺を完全平方式にするため、(b/2a)² を両辺に加えます。
- (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²
- 両辺の平方根を取り、x について整理すると、解の公式が得られます。
判別式 D (Discriminant) について
解の公式のルートの中身、D = b² - 4ac を「判別式」と呼びます。この値によって、解の性質が決まります。
- D > 0 の場合: 異なる2つの実数解を持ちます。グラフ（放物線）はx軸と2点で交わります。
- D = 0 の場合: ただ1つの実数解（重解）を持ちます。グラフはx軸と1点で接します。
- D < 0 の場合: 実数解を持たず、互いに共役な2つの虚数解（複素数解）を持ちます。グラフはx軸と交わりません。
二次方程式の応用例
二次方程式は、数学だけでなく物理学や経済学、工学など幅広い分野で利用されています。
- 物理学 (放物運動): ボールを投げた時の軌道計算など、重力下での物体の運動は二次関数で近似されます。地面に落下するまでの時間などを求める際に二次方程式が使われます。
- 幾何学 (面積): 長方形や三角形の面積が与えられた状況で、辺の長さを求める問題などに応用されます。
- 経済学 (利益最大化): 収益関数が二次関数でモデル化される場合、利益が0になる分岐点や最大利益を算出する際に使用されます。
虚数単位 i について
判別式 D < 0 の場合、数学的には「解なし（実数の範囲で）」とされることがありますが、複素数の範囲まで拡張すると解が存在します。虚数単位 i は、i² = -1 となる数として定義されます。当計算機では、このような場合も正確に複素数解を表示します。